Monotoniforhold+og+ekstrema

=Monotoniforhold =  1. Nulpunkter for f**’**(x) bestemmes (WordMat: f**’**(x)=0)  2. Lav fortegnsvariation omkring nulpunkterne for f’ (her x=c og x=d, dvs. f**’**(c) = f**’**(d) = 0), indsæt skema 3. Opskriv monotoniforholdene - husk hvis f’(x)>0 er f voksende, og hvis f’(x)<0 er f aftagende. Monotoniforholdene skal skrives som intervaller.
 *  Interval || ]-∞; c[ || ] c; d [  || ] d; ∞[  ||
 *  Repræsentant x ||  ||   ||   ||
 *  f**’**(x) ||  ||   ||   ||
 *  Fortegn for f’(x) || + eller - ||   ||   ||
 *  f(x) || pil op eller ned! ||   ||   ||

=Ekstrema = 1. Nulpunkter for f’(x) (f-mærke)bestemmes (WordMat: f’(x)=0) 2. Lav fortegnsvariation omkring nulpunkterne for f’ (her x=c og x=d, dvs. f’(c) = f’(d) = 0), indsæt skema <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> 3. Bestem ekstrema ud fra følgende: <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> A. Fortegnene skifter fra **+ 0 -** der er fundet et **maksimumpunkt** <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> B. Fortegnene skifter fra **- 0 +** der er fundet et **minimumspunkt** <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> C. Fortegnene skifter fra - 0 - eller + 0 + og der er hverken maksimum eller minimum.
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> Interval || <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">]-∞; c[ || <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">] c; d [ || <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">] d; ∞[ ||
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> Repræsentant x ||  ||   ||   ||
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> f’(x) ||  ||   ||   ||
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> Fortegn for f’(x) || <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">+ eller - ||  ||   ||
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"> f(x) ||  ||   ||   ||

=<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Vendetangentpunkt = <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">1. Nulpunkter for f**’’**(x) (f-dobbelt mærke) bestemmes (WordMat: f**’’**(x)=0) <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">2. Lav fortegnsvariation omkring nulpunkterne for f**’’** (her x=s og x=t, dvs. f**’’**(s) = f**’’**(t) = 0), indsæt skema <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">3. Hvis fortegnene for f**’’**(x) skifter fra + 0 - eller - 0 + så har f en vendetangent. <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">4. y-værdien findes ved indsættelse af x-værdien i f. Vendetangentens røringspunkt er hermed bestemt. =Eksempel (WordMat)= = Vendetangent <span class="label" style="background-color: #ffffff; color: #b2b2b2; font-size: 8px; vertical-align: 2px;">ID = <span style="background-color: #c7d2eb; display: block; font-family: Tahoma,arial,helvetica,clean,sans-serif;"> kaldes det punkt på grafen, hvor grafen skifter krumning fra konkav (sur) til konveks (glad) eller omvendt. Konkav (sur) svarer til et lokalt maksimum, konveks (glad) til et lokalt minimum. Vendetangent beregnes ved hjælp af f '' ( f -dobbelt-mærke), hvor f er dobbelt-differentieret. <span style="background-color: #c7d2eb; display: block; font-family: Tahoma,arial,helvetica,clean,sans-serif;"> = Monotoniforhold og ekstrema <span class="label" style="background-color: #ffffff; color: #b2b2b2; font-size: 8px; vertical-align: 2px;">ID =
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Interval || <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">]-∞; s[ || <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">] s; t [  || <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">] t; ∞[  ||
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Repræsentant x ||  ||   ||   ||
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">f**’'**(x) ||  ||   ||   ||
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Fortegn for f**’'**(x) || <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">+ eller - ||   ||   ||
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">Krumning for f || <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">U eller ∩ ||  ||   ||
 * **Stikord** || **Opgaver mm.** ||
 * Definitionsmængde, nulpunkter, fortegnsvariation, monotoniforhold, ekstrema, værdimængde og graf || [[file:Funktionsanalyse.docx]] ||
 * Nulpunkter, fortegnsvariation, monotoniforhold, ekstrema, vendetangentpunkt og graf || [[file:Funktionsanalyse og vendetangentpunkt.docx]] ||
 * Sammenhængen mellem f og f' || [[file:f og f'.docx]] ||
 * Youtube link -Monotoniforhold grundlæggende: || media type="youtube" key="3inQCfY8kNg?version=3" height="315" width="560" ||
 * Youtube link - Forskel på f(x) og f'(x) || media type="youtube" key="iBrc-HOshwI" width="560" height="315" ||

<span style="background-color: #c7d2eb; display: block; font-family: Tahoma,arial,helvetica,clean,sans-serif;"> Monotoniforhold handler om, hvor på x -aksen grafen er voksende eller aftagende. I matematik anvendes ekstrema til at angive punkter, hvor grafen skifter fra at være voksende til at være aftagende.